Ensembles finis Exemples

$7^{x} + 7^{- x} = 50$

Étape 1

Réécrivez $7^{- x}$ comme une élévation à une puissance.

$7^{x} + {(7^{x})}^{- 1} = 50$

Étape 2

Remplacez $7^{x}$ par $u$ .

$u + u^{- 1} = 50$

Étape 3

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$u + \frac{1}{u} = 50$

Étape 4

Résolvez $u$ .

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Étape 4.1

Déterminez le plus petit dénominateur commun des termes dans l’équation.

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Étape 4.1.1

Déterminer le plus petit dénominateur commun d’une liste d’expressions équivaut à déterminer le plus petit multiple commun des dénominateurs de ces valeurs.

$1, u, 1$

Étape 4.1.2

Le plus petit multiple commun de toute expression est l’expression.

$u$

Étape 4.2

Multiplier chaque terme dans $u + \frac{1}{u} = 50$ par $u$ afin d’éliminer les fractions.

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Étape 4.2.1

Multipliez chaque terme dans $u + \frac{1}{u} = 50$ par $u$ .

$u \cdot u + \frac{1}{u} u = 50 u$

Étape 4.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 4.2.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.2.2.1.1

Multipliez $u$ par $u$ .

$u^{2} + \frac{1}{u} u = 50 u$

Étape 4.2.2.1.2

Annulez le facteur commun de $u$ .

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Étape 4.2.2.1.2.1

Annulez le facteur commun.

$u^{2} + \frac{1}{u} u = 50 u$

Étape 4.2.2.1.2.2

Réécrivez l’expression.

$u^{2} + 1 = 50 u$

Étape 4.3

Résolvez l’équation.

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Étape 4.3.1

Soustrayez $50 u$ des deux côtés de l’équation.

$u^{2} + 1 - 50 u = 0$

Étape 4.3.2

Utilisez la formule quadratique pour déterminer les solutions.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Étape 4.3.3

Remplacez les valeurs $a = 1$ , $b = - 50$ et $c = 1$ dans la formule quadratique et résolvez pour $u$ .

$\frac{50 \pm \sqrt{{(- 50)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 1)}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.3.4

Simplifiez

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Étape 4.3.4.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.3.4.1.1

Élevez $- 50$ à la puissance $2$ .

$u = \frac{50 \pm \sqrt{2500 - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.3.4.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 1 \cdot 1$ .

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Étape 4.3.4.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$u = \frac{50 \pm \sqrt{2500 - 4 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.3.4.1.2.2

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$u = \frac{50 \pm \sqrt{2500 - 4}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.3.4.1.3

Soustrayez $4$ de $2500$ .

$u = \frac{50 \pm \sqrt{2496}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.3.4.1.4

Réécrivez $2496$ comme $8^{2} \cdot 39$ .

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Étape 4.3.4.1.4.1

Factorisez $64$ à partir de $2496$ .

$u = \frac{50 \pm \sqrt{64 (39)}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.3.4.1.4.2

Réécrivez $64$ comme $8^{2}$ .

$u = \frac{50 \pm \sqrt{8^{2} \cdot 39}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.3.4.1.5

Extrayez les termes de sous le radical.

$u = \frac{50 \pm 8 \sqrt{39}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.3.4.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$u = \frac{50 \pm 8 \sqrt{39}}{2}$

Étape 4.3.4.3

Simplifiez $\frac{50 \pm 8 \sqrt{39}}{2}$ .

$u = 25 \pm 4 \sqrt{39}$

Étape 4.3.5

La réponse finale est la combinaison des deux solutions.

$u = 25 + 4 \sqrt{39}, 25 - 4 \sqrt{39}$

Étape 5

Remplacez $u$ par $25 + 4 \sqrt{39}$ dans $u = 7^{x}$ .

$25 + 4 \sqrt{39} = 7^{x}$

Étape 6

Résolvez $25 + 4 \sqrt{39} = 7^{x}$ .

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Étape 6.1

Réécrivez l’équation comme $7^{x} = 25 + 4 \sqrt{39}$ .

$7^{x} = 25 + 4 \sqrt{39}$

Étape 6.2

Prenez le logarithme naturel des deux côtés de l’équation pour retirer la variable de l’exposant.

$\ln (7^{x}) = \ln (25 + 4 \sqrt{39})$

Étape 6.3

Développez $\ln (7^{x})$ en déplaçant $x$ hors du logarithme.

$x \ln (7) = \ln (25 + 4 \sqrt{39})$

Étape 6.4

Divisez chaque terme dans $x \ln (7) = \ln (25 + 4 \sqrt{39})$ par $\ln (7)$ et simplifiez.

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Étape 6.4.1

Divisez chaque terme dans $x \ln (7) = \ln (25 + 4 \sqrt{39})$ par $\ln (7)$ .

$\frac{x \ln (7)}{\ln (7)} = \frac{\ln (25 + 4 \sqrt{39})}{\ln (7)}$

Étape 6.4.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 6.4.2.1

Annulez le facteur commun de $\ln (7)$ .

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Étape 6.4.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{x \ln (7)}{\ln (7)} = \frac{\ln (25 + 4 \sqrt{39})}{\ln (7)}$

Étape 6.4.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{\ln (25 + 4 \sqrt{39})}{\ln (7)}$

Étape 7

Remplacez $u$ par $25 - 4 \sqrt{39}$ dans $u = 7^{x}$ .

$25 - 4 \sqrt{39} = 7^{x}$

Étape 8

Résolvez $25 - 4 \sqrt{39} = 7^{x}$ .

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Étape 8.1

Réécrivez l’équation comme $7^{x} = 25 - 4 \sqrt{39}$ .

$7^{x} = 25 - 4 \sqrt{39}$

Étape 8.2

Prenez le logarithme naturel des deux côtés de l’équation pour retirer la variable de l’exposant.

$\ln (7^{x}) = \ln (25 - 4 \sqrt{39})$

Étape 8.3

Développez $\ln (7^{x})$ en déplaçant $x$ hors du logarithme.

$x \ln (7) = \ln (25 - 4 \sqrt{39})$

Étape 8.4

Divisez chaque terme dans $x \ln (7) = \ln (25 - 4 \sqrt{39})$ par $\ln (7)$ et simplifiez.

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Étape 8.4.1

Divisez chaque terme dans $x \ln (7) = \ln (25 - 4 \sqrt{39})$ par $\ln (7)$ .

$\frac{x \ln (7)}{\ln (7)} = \frac{\ln (25 - 4 \sqrt{39})}{\ln (7)}$

Étape 8.4.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 8.4.2.1

Annulez le facteur commun de $\ln (7)$ .

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Étape 8.4.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{x \ln (7)}{\ln (7)} = \frac{\ln (25 - 4 \sqrt{39})}{\ln (7)}$

Étape 8.4.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{\ln (25 - 4 \sqrt{39})}{\ln (7)}$

Étape 9

Indiquez les solutions qui rendent l’équation vraie.

$x = \frac{\ln (25 + 4 \sqrt{39})}{\ln (7)}, \frac{\ln (25 - 4 \sqrt{39})}{\ln (7)}$

Étape 10

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$x = \frac{\ln (25 + 4 \sqrt{39})}{\ln (7)}, \frac{\ln (25 - 4 \sqrt{39})}{\ln (7)}$

Forme décimale :

$x = 2.01017645 \dots, - 2.01017645 \dots$